姜小白71，自然，简约，平中出奇

很难想象，一个高中生能有这么敏锐的观察力。对于题主观察到的现象，为什么玻璃上两水滴相遇后速度变快？定性来讲，这个问题的答案很简单，液滴相遇后融合是一个表面能转化为动能的过程，此过程中液滴与玻璃壁面会发生相互作用，融合过程并不满足动量守恒，所以最终液滴速度是变快而不是变慢。

为了讲清楚这个问题，特意找了一张液滴滑落的动图（图 1），如红色箭头所指，该液滴一开始处于静止状态，随后在其高处滑落另一个液滴，在两液滴即将接触时，滑动的液滴几乎静止，然而在一瞬间，两液滴完成融合后猛然向下滑落，这就是题目描述的现象。

实际上在液滴经历过融合加速后，后面的速度变化则取决于阻力大小，所以液滴下滑融合过程中，很多时候液滴也会出现一顿一顿的现象，这就是液滴加速后阻力过大的表现，只有在液滴生长到足够大小后，才可以顺畅下滑。当然，这个不是本回答的重点了。

图 1：液滴滑落动图
液滴融合后的瞬时加速问题要考虑的因素非常多，比如重力势能的减少，接触角迟滞等，理论分析似乎很难区分每个因素的影响，那么有没有什么过硬的证据，能证明液滴融合后的加速行为是表面能减少导致的呢？有的，看下图（图 2），

图 2：平面上液滴融合后的垂直运动行为(Boreyko, J. B. , & Chen, C. H. . (2009). Self-propelled dropwise condensate on superhydrophobic surfaces. American Physical Society.)
疏水表面上因空气冷凝形成了两个小液滴，且两个小液滴在缓慢生长，当它们生长到刚好接触时便开始融合，由于基底是疏水的，液滴融合后减少的表面能只能转化为向上的动能，所以液滴直接腾空而起，瞬时速度高达 0.14m/s。

定性分析有了，现在我们开始定量分析，考虑建立一个理论模型，抓住主要矛盾，忽略次要矛盾，最终的简化模型（图 3）可以表述为一个高中物理题的形式，那么这道题以及解答就送给你们了，赶紧来尝试求解一下吧。

在竖直放置的玻璃板上，有两个完全相同的液滴，一上一下，即将发生融合。已知每个液滴的接触角为 ，与玻璃板的润湿半径为 ，液体的密度为 ，液 - 气表面张力为 ，融合前两液滴均静止。求融合后液滴沿玻璃板运动的瞬时速度 。

题中用到的假设有，融合前后液滴始终保持球帽形，接触角不变，忽略粘性耗散、接触线摩擦、液滴内部振荡以及重力势能等能量损失，且认为融合前后体系总表面能的变化全部转化为融合后液滴沿玻璃板运动的平动动能。

图 3：液滴融合示意图
解：

1. 单液滴几何关系

液滴为球帽形，接触角为 ，润湿半径为 。单液滴液 - 气界面面积：

单液滴固 - 液接触面积：

单液滴体积：

2. 融合后的液滴几何参数

设融合后液滴的润湿半径为 。融合前后液体总量不变，因此总体积守恒：

其中 为融合后液滴体积。由于融合后接触角仍为 ，根据球帽体积公式，可求得液滴润湿半径为，

融合后液滴的液 - 气界面面积为：

融合后液滴的固 - 液接触面积为：

3. 体系总表面能变化

体系总表面能为：

其中： 为液 - 气表面张力； 为固 - 液界面张力； 为固 - 气界面张力。融合前两个液滴总液 - 气面积为：

所以液 - 气面积变化为：

融合前两个液滴总固 - 液面积为：

所以固 - 液面积变化为：

玻璃板总面积不变，被液滴覆盖的区域从原来的固 - 气界面变为固 - 液界面，因此固 - 气面积变化为：

现在计算总表面能变化，表达式为，

代入 可得到，

由 Young 方程：

所以表面能可写为：

代入面积变化，化简可得：

由于 ，所以 ，说明融合后体系表面能降低。表面能降低量为：

4. 能量守恒求速度

融合前两个液滴总质量为：

按题意，表面能降低量全部转化为融合后液滴沿玻璃板运动的平动动能：

因此：

代入 和 ，最终得到：

这就是液滴融合后的速度。

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来源：https://daily.zhihu.com/story/9792671